Имеет ли право исполняющий обязанности нотариуса ставить подписи на документах, подлежащих апостилированию?

Да, имеет право. У каждого нотариуса может быть заместитель — в случае болезни или отпуска нотариальная контора продолжит работу, документы заверит исполняющий обязанности нотариуса.

В нотариальных документах будет указано, что они оформлены исполняющим обязанности нотариуса. Печать на нотариальных документах будет стоят нотариуса, у исполняющего обязанности нотариуса своей печати нет.

Может ли это помешать проставлению апостиля?

Нет, это не помешает.
Ниже размещен пример апостиля, который поставили на нотариальный документ. Нотариальный документ оформил временно исполняющий обязанности нотариуса. В тексте апостиля видно, что заверяется подпись именно временно исполняющего обязанности нотариуса.

Пункт 3 в апостиле: Выступающим в качестве — Врио нотариуса
Пункт 4 в апостиле: Скреплен печатью / штампом — нотариуса Шелковского нотариального округа Московской области